Question

3．如图，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$与x轴、y轴分别交于A，B两点，过点O作OC⊥AB于点C，点P是OA上的动点，若使△PAC为等腰三角形，则点P的坐标是（2$\sqrt{3}$-4，0）或（-2，0）．

Answer 1

分析 求得A、B的坐标，然后根据勾股定理求得AB，根据三角形面积公式求得OC，即可求得AC，然后分两种情况即可求得．

解答 解：∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴A（-4，0），B（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{3}$•OC=4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
①当AC=AP时，P（2$\sqrt{3}$-4，0）；
②AP=PC时，P（-2，0）．
故答案为：（2$\sqrt{3}$-4，0）或（-2，0）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定以及勾股定理的应用等，分类讨论是本题的关键．