Question

5．已知∠BAC=30°，AB=3，AC=4，M在AC上，N在AB上，则BM+MN+NC的最小值是$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图直线AC、AE关于直线AB的对称，作CF⊥AE于F，交直线AB于N，作BM⊥AC于M，连接MN，此时BM+MN+CN最短，由BM+MN+CN=BM+FN+CN=BM+CF可知求出BM、CF即可．

解答 解：如图直线AC、AE关于直线AB的对称，作CF⊥AE于F，交直线AB于N，作BM⊥AC于M，连接MN，此时BM+MN+CN最短．
理由：∵BM+MN+CN=BM+FN+CN=BM+CF，
∴BM+CF最小（垂线段最短），
在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=3，∠MAB=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
在RT△ACF中，∵∠AFC=90°，AC=4，∠FAC=60°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2，CF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，
∴BM+MN+NC的最小值是$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、直角三角形30°角性质等知识，解题的关键是准确找到点N、点M的位置，属于中考常考题型．