Question

已知抛物线y=-x²+2x+1的顶点为P，且与x轴交于A、B两点，现将这条抛物线绕原点旋转180°，得到抛物线y=ax²+bx+c且与y轴交于点D，与x轴交于点M、N．
（1）D点的坐标为

 

．
（2）a=

 

，b=

 

，c=

 

．
（3）若点A与N是互相对应的点，试求△PAN的面积．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）先把y=-x²+2x+1配成顶点式得y=-（x-1）²+2，则P点坐标为（1，2），再求出点P关于原点的对称点的坐标（-1，-2），由此可得旋转后的抛物线解析式为y=（x+1）²-2，再计算出自变量为0时的函数值即可得到D点坐标；
（2）把y=（x+1）²-2变形为一般式得到y=x²+2x-1，则易得a、b、c的值；
（3）根据抛物线与x轴的交点问题，求出点A与点B的坐标为（

2

+1，0）、（-

2

+1，0），点M与点N的坐标为（

2

-1，0）、（-

2

-1，0）；然后分类讨论：当A（

2

+1，0），则N（-

2

-1，0）或当A（-

2

+1，0），则N（

2

-1，0），再根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，则P点坐标为（1，2），
点P关于原点的对称点的坐标为（-1，-2），
所以旋转后的抛物线解析式为y=（x+1）²-2，
当x=0时，y=1-2=-1，则D点坐标为（0，-1）；
（2）y=（x+1）²-2=x²+2x-1，
所以a=1，b=2，c=-1；
故答案为（0，-1）；1，2，-1；
（3）当-（x-1）²+2=0，解得x₁=

2

+1，x₂=-

2

+1，则点A与点B的坐标为（

2

+1，0）、（-

2

+1，0）；
当（x+1）²-2=0，解得x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1，则点M与点N的坐标为（

2

-1，0）、（-

2

-1，0）；
当A（

2

+1，0），N（-

2

-1，0），所以△PAN的面积=

1

2

×2×（

2

+1+

2

+1）=2

2

+2；
当A（-

2

+1，0），N（

2

-1，0），所以△PAN的面积=

1

2

×2×（

2

-1+

2

-1）=2

2

-2，
即△PAN的面积为2

2

+2或2

2

-2．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．