Question

15．如图，△ABC的三条中线相交于点G．
（1）求证：$\overrightarrow{GD}$+$\overrightarrow{GE}$+$\overrightarrow{GF}$=$\overrightarrow{0}$；
（2）求证；$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 （1））由△ABC的三条中线相交于点G，可得$\overrightarrow{GD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CF}$，然后证得$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{0}$，即可证得结论；
（2）由△ABC的三条中线相交于点G，可得$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$，继而证得结论．

解答 证明：（1）∵△ABC的三条中线相交于点G，
∴$\overrightarrow{GD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CF}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$）=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{GD}$+$\overrightarrow{GE}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$）=$\overrightarrow{0}$；

（2）∵△ABC的三条中线相交于点G，
∴$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$）=$\overrightarrow{0}$．

点评 此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．