Question

13．如图1，某人用一张面积为S的三角形纸片ABC剪出一个△EFP，记△EFP得面积为T，已知E，F，P分别是△ABC三边上的三点，且EF∥BC．
（1）如图2，若P与B重合，设$\frac{AE}{AB}$分别等于$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$时，△PEF的面积分别为T₁，T₂，T₃．
①T₁=$\frac{1}{4}$S，T₂=$\frac{2}{9}$S，T₃=$\frac{3}{16}$S；（用含S的式子表示）
②写出T₃的求解过程．
（2）在（1）中T₁，T₂，T₃中的最大值是否是所有满足条件的△EFP（P与B或C不一定重合）的面积的最大值？若不是，求出T的最大值；若是，请给予证明．

Answer 1

分析 （1）①作AD⊥BC于D，交EF于G，根据相似三角形的判定定理得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到成比例线段，根据三角形的面积公式计算即可；
②T₃的求解过程见①中；
（2）设$\frac{AE}{AB}$=x，根据题意列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出T的最大值判断即可．

解答 解：（1）①作AD⊥BC于D，交EF于G，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，
当$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$时，EF=$\frac{1}{2}$BC，AG=$\frac{1}{2}$AD，则DG=$\frac{1}{2}$AD，
T₁=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{4}$S，
当$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$时，EF=$\frac{1}{3}$BC，AG=$\frac{1}{3}$AD，则DG=$\frac{2}{3}$AD，
T₂₌$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{2}{9}$S，
当$\frac{AE}{AB}$=$\frac{3}{4}$时，EF=$\frac{3}{4}$BC，AG=$\frac{3}{4}$AD，则DG=$\frac{1}{4}$AD，
T₃=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{3}{16}$S；
②T₃的求解过程见①；
（2）T₁，T₂，T₃中的最大值是所有满足条件的△EFP（P与B或C不一定重合）的面积的最大值，理由如下：
设$\frac{AE}{AB}$=x时，EF=xBC，AG=xAD，则DG=AD-xAD，
T=$\frac{1}{2}$×EF×DG=$\frac{1}{2}$×xBC×（AD-xAD）=（-x²+x）S，
当x=$\frac{1}{2}$时，T有最大值$\frac{1}{4}$S，
所以T₁，T₂，T₃中的最大值是所有满足条件的△EFP（P与B或C不一定重合）的面积的最大值．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及二次函数的性质的应用是解题的关键．