Question

18．如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a，b之间的定点，点C为直线b上的定点．
（1）当∠DAB与∠ECB互余（如图1）时，AB与BC存在怎样的位置关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，将等腰直角三角尺的一个锐角顶点与点B重合放置（如图2）．BM平分∠ABP，交直线a于点M．BN平分∠QBC，交直线b于点N．当三角尺绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A移动时，求$\frac{∠FBG}{∠ECB}$的值．

Answer 1

分析 （1）AB⊥BC，过B作BE∥AD，根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，于是得到∠1+∠3=∠2+∠4，根据已知条件∠1+∠3=90°，得到∠2+∠4=90°，于是得到结论；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，由于∠ABQ=∠ABC+∠QBP-∠1=90°+45°-∠1，得到∠ABQ+∠1=135°，根据∠ABQ=∠1+∠ABP+∠QBC，于是得到2∠1+∠ABP+∠QBC=135°，根据角平分线的性质得到∠MBP=$\frac{1}{2}∠ABP，∠NBC=\frac{1}{2}∠QBC$，于是得到2∠1+2∠MBP+2∠NBC=135°即∠1+∠MBP+∠NBC=67.5°，由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠1+∠MBP+∠NBC，即可得到结果；
（3）根据∠AFB=∠1+∠2，由（1）知∠3=∠2+∠4，由于∠3=∠ABG，于是得到∠2+∠4=∠1+∠ABF，根据∠AFB=∠ABF，推出∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，于是得到∠4=2∠1，即可求得结论．

解答 解：（1）AB⊥BC，
理由：如图1，过B作BE∥AD，
∵AD∥CE，
∴BE∥CE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；

（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，
理由：如图2，∵∠ABQ=∠ABC+∠QBP-∠1=90°+45°-∠1，
∴∠ABQ+∠1=135°，
∵∠ABQ=∠1+∠ABP+∠QBC，
∴2∠1+∠ABP+∠QBC=135°，
∵∠MBP=$\frac{1}{2}∠ABP，∠NBC=\frac{1}{2}∠QBC$，
∴2∠1+2∠MBP+2∠NBC=135°即∠1+∠MBP+∠NBC=67.5°，
由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠1+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB=67.5°；

（3）如图3，∵∠AFB=∠1+∠2，
由（1）知∠3=∠2+∠4，
∵∠3=∠ABG，
∵∠ABG=∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠ABF，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，
即∠4=2∠1，
∴$\frac{∠FBG}{∠ECB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形外交的性质，角平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．