Question

11．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=7$\sqrt{2}$，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）由切线得：OC⊥PC，再得平行，由同圆的半径相等：OA=OC，根据等边对等角可得结论；
（2）证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边可得结论；
（3）作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数的比设未知数，利用勾股定理列方程可得结论．

解答 证明：（1）∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠ABE=∠ECB，
∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°，
∴∠BCP=∠BAC，
∵∠BAC=∠BEC，
∴∠BCP=∠BEC，
∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，
∠PCF=∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；

（3）连接AE．
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴AE=BE，
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×$7\sqrt{2}$=14，
∴OB=OC=7，
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{BC}{AC}$，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{3}{4}$，
设PB=3x，则PC=4x，
在Rt△POC中，（3x+7）²=（4x）²+7²，
解得x₁=0（舍），x₂=6，
∵x＞0，
∴x=6，
∴PC=4x=4×6=24．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过三角函数的比设未知数，表示线段的长，利用垂直构造直角三角形，根据勾股定理列方程解决有关问题．