Question

5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OB=OD．点E在线段OA上，连结BE，DE．给出下列条件：①OC=OE；②AB=AD；③BC⊥CD；④∠CBD=∠EBD．请你从中选择两个条件，使四边形BCDE是菱形，并给予证明．你选择的条件是：①②或①④或②④（只填写序号）．

Answer 1

分析 可以选①②或①④或②④，根据菱形的判定方法一一判断即可．

解答 解：方法一：选①②．
∵OB=OD，OC=OE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB=AD，OB=OD，
∴AO⊥BD，即EC⊥BD，
∴平行四边形BCDE是菱形．，
方法二：选①④．
∵OB=OD，OC=OE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BC∥DE，
∴∠CBD=∠BDE，
∵∠CBD=∠EBD，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=DE，
∴平行四边形BCDE是菱形．
方法三：选②④．
解法一：∵AB=AD，OB=OD，
∴AO⊥BD，即EC⊥BD，
∴∠BOC=∠BOE=90°，
∵∠CBD=∠EBD，BO=BO，
∴△BOC≌△BOE，
∴OE=OC，
又∵OB=OD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵EC⊥BD，
∴平行四边形BCDE是菱形．
解法二：∵AB=AD，OB=OD，
∴AO⊥BD，即EC⊥BD，
∴EC垂直平分BD，
∴BE=DE，BC=DC，
∵∠BOC=∠BOE=90°，∠CBD=∠EBD，BO=BO，
∴△BOC≌△BOE，
∴BE=BC，
∴BE=DE=BC=DC，
∴四边形BCDE是菱形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．