题目内容
13．如图，已知二次函数y=ax2+$\frac{3}{2}x+m$的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连AB、AC，点N在线段BC上运动（不与点B、C重合）过点N作NM∥AC，交AB于点M．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）当以点A、M、N为顶点的三角形与以点A、B、O为顶点的三角形相似时，求点N的坐标；
（3）当△AMN面积等于3时，直接写出此时点N的坐标．
分析 （1）根据待定系数法可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BO}{OA}$=$\frac{1}{2}$，根据BN与AN的关系，可得n，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，等量代换，可得，$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，可得MD，根据面积的和差，可得n的值，可得答案．
解答 解：（1）∵图象与y轴交于点A（0，4），
∴m=4．把点C的坐标代入函数解析式，得a=-$\frac{1}{4}$．
二次函数解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4．
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=0，解得x=8，x=-2．
∴点B的坐标为（-2，0）．
∴AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．
∵BC2=（BO+OC）2=100，
在△ABC中，AB2+AC2=BC2．
∴△ABC是直角三角形；
（2）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，
∵∠AOB=∠NMA=90°，
∴有两种情况．
①当$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BO}{OA}$=$\frac{1}{2}$时，易得∠BAO=∠ANM=∠BNM．
∴NB=NA，
∴BN2=NA2，
即（n+2）2=n2+42，解得n=3，此时N（3，0），
②当$\frac{AM}{MN}$=$\frac{OA}{BO}$=2时，d点N与原点O重合，
∴此时N（0，0）．
（3）设点N的坐标为（n，0），-2＜n＜8，则BN=n+2，
过M点作MD⊥x轴于点D，
，
∵MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$．
∵MN∥AC，$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$．
∵OA=4，BC=10，BN=n+2，
∴MD=$\frac{2}{5}$（n+2）．
∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=-$\frac{1}{5}$（n-3）2+5=3，
解得n=3$±\sqrt{10}$，
∴N点坐标为（3+$\sqrt{10}$，0）（3-$\sqrt{10}$，0）．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理的逆定理是解题关键；利用相似三角形的性质得出BN与AN的关系是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出MD的值是解题关键，又利用了面积的和差得出N的值．
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如图，某校数学兴趣小组在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为31°，已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．
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