如图.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点A.B坐标分别为.抛物线与y轴交点C为(0.3)．(1)求抛物线解析式并指点D的坐标,(2)点P是抛物线对称轴上一动点.且以1个单位/秒的速度以抛物线顶点D出发向上运动.设点P运动时间为t秒．①当△PAC周长最小时.求t值,②当t=4或4+$\sqrt{6}$.4-$\sqrt{6}$时.△PAC为是以AC为腰的等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点A、B坐标分别为（-1，0），（-3，0），抛物线与y轴交点C为（0，3）．
（1）求抛物线解析式并指点D的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度以抛物线顶点D出发向上运动，设点P运动时间为t秒．
①当△PAC周长最小时，求t值；
②当t=4或4+$\sqrt{6}$、4-$\sqrt{6}$时，△PAC为是以AC为腰的等腰三角形；
③点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据配方法，可得顶点坐标；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两点之间线段最短，可得P在对称轴与BC的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，根据两点间的距离，可得答案；
②根据PA=AC，可得P点坐标，根据两点之间的距离，可得t的值；根据PC=AC，可得P点坐标，根据两点之间的距离，可得t的值；
③根据相似三角形的判定与性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x+3）
把（0，3）代入得
a（0+1）（0+3）=3
a=1．
∴y=（x+1）（x+3）=x²+4x+3
又∵y=（x+2）²-1
∴D（-2，-1）；
（2）如图1，

①P是抛物线对称轴上一动点
当△PAC周长最小时，即PA+PC值最小，
由最短路径可得，点A、B关于对称轴对称
∴直线BC与对称轴交点即为P点
设直线BC解析式为y=kx+b
把（-3，0），（0，3）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解析式为y═x+3
当x=-2时，y=1
∴P（-2，1）．
又∵D（-2，-1），
∴PD=2．
t=2．
∴当△PAC周长最小时，t=2；
②如图2，

当PA=AC时，P点的纵坐标是3，P在对称轴上，P（-2，3），
D（-2，-1），PD=3-（-1）=4，t=PD=4，
当PC=AC时，设P（-2，b），即
4+（b-3）²=1+9，解得b=3+$\sqrt{6}$，b=3-$\sqrt{6}$，
即P″（-2，3+$\sqrt{6}$），PD=3+$\sqrt{6}$-（-1）=4+$\sqrt{6}$，t=PD=4+$\sqrt{6}$；
P′（-2，3-$\sqrt{6}$），PD=3-$\sqrt{6}$-（-1）=4-$\sqrt{6}$，t=PD=4-$\sqrt{6}$，
故答案为：2，4+$\sqrt{6}$，4-$\sqrt{6}$；
③存在点P
过点C作CM⊥对称轴，垂足为M，对称轴与X轴交于点N，如图3，
，
设P（-2，m），
∴PN=m  AN=1   MC=2  MP=3-m
∵∠CMP=∠ANP=90°
又∵∠APC=90°
∴∠MPC+∠APN=90°
又∵Rt△MPC中
∠MPC+∠MCP=90°
∴∠APN=∠MCP
∴△MPC∽△NAP
∴$\frac{CM}{MP}$=$\frac{PN}{AN}$
∴$\frac{2}{3-m}$=$\frac{m}{1}$
∴m²-3m+2=0
∴m₁=1   m₂=2
∴P（-2，1），（-2，2）．