Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，DE⊥BD，D，E分别为垂足，F为AB的中点，若以点D为圆心，$\frac{1}{2}$CD为半径画⊙D，试判定B，E，F与⊙D的位置关系．

Answer 1

分析 设AB=2x，再由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，DE⊥BD，可用x表示出DF，BD即DE，CD的长，再与$\frac{1}{2}$CD相比较即可．

解答 解：设AB=2x，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，F为AB的中点，
∴BC=x，BF=x，AC=$\sqrt{3}$x，
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}x•x}{2x}$=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
∴⊙D的半径为$\frac{\sqrt{3}x}{4}$．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，
∴∠B=60°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{x}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}x}{4}$，
∴点B在圆外；
∵DE=$\frac{CD•BD}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x•\frac{x}{2}}{x}$=$\frac{\sqrt{3}x}{4}$=⊙D的半径，
∴点E在圆上；
∵DF=$\frac{1}{2}$AB-BD=x-$\frac{x}{2}$=$\frac{x}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}x}{4}$，
∴点F在圆外．

点评 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．