Question

8．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，CF=GF，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：C是$\widehat{AE}$的中点．

Answer 1

分析 根据CF=GF，得到∠FCG=∠FGC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEB=90°，根据等角的余角相等证明∠EBC=∠ABC，证明结论．

解答 证明：∵CF=GF，∴∠FCG=∠FGC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBC+∠EGB=90°，又∠CGF=∠EGB，
∴∠EBC+∠CGF=90°，
∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠FCG=90°，
∴∠EBC=∠ABC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，即C是$\widehat{AE}$的中点．

点评 本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．