Question

7．已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①DF=FE，②BD=BE，③△BDF≌△BEF，④∠A=∠E（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）∠A=30°，CD=1，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）由BC是⊙O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；
（2）当∠A=30°时BD=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中tan60°可求得r=$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）①DF=FE，②BD=BE，③△BDF≌△BEF，④∠A=∠E；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°=$\frac{1}{2}$AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=1，
∴$\frac{BD}{CD}$=tan60°，
∴r=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，理清思路，掌握基本知识，灵活运用解决问题．