Question

已知直线L₁：y=

1

2

x+5与坐标轴交于A、B两点，直线L₂：y=-2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点P．
（1）求P点坐标；
（2）判别△PAC的形状，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在点Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）将y=

1

2

x+5和y=-2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；
（2）根据系数的积的比为-1，判断出两直线垂直，得到△PAC为直角三角形．
（3）过P作PE⊥x轴于E，E点坐标为（2，0），根据勾股定理求出PA的长，直接求出Q₁，Q₂，Q₄，作GQ₃⊥AP，求出GQ₃解析式，得到Q₃的坐标．

解答：解：如图：
（1）将y=

1

2

x+5和y=-2x+10组成方程组得

y= 1 2 x+5 y=-2x+10

，
解得

x=2 y=6

，
可得P（2，6）．

（2）∵L₁：y=

1

2

x+5的比例系数为k，L₂：y=-2x+10的比例系数为-2，
可得

1

2

×（-2）=-1，
∴∠APC=90°，△PAC为直角三角形．

（3）过P作PE⊥x轴于E，
E点坐标为（2，0）．
∵P（2，6），A（-10，0），
∴PA=

62+122

=6

5

，
∴可见，OQ₁=6

5

-10，
Q₁（6

5

-10，0），Q₂（-6

5

-10，0），
作GQ₃⊥AP，设GQ₃解析式为y=-2x+b，H坐标为（-4，3），
将H（-4，3）代入y=-2x+b得，3=-2×（-4）+b，
解得b=-5，
∴y=-2x-5，
当y=0时，x=-

5

2

，Q₃（-

5

2

，0），Q₄（2+6

5

，0）．

点评：本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．