Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AB=2，AD=3，点E是线段BC上的一个动点（E与B、C不重合），G、F、H分别是AD、DE、AE的中点，连接HG、GF、FH．
（1）求证：△GHF≌△EFH；
（2）①当BE=

 

时，四边形GHEF是菱形；     
②∠AED的度数为

 

时，四边形GHFD为矩形．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,菱形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）根据三角形中位线的性质可得GF=HE，HG=EF，再利用SSS定理证明△GHF≌△EFH；
（2）①过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，可构造矩形AMND，进而得到MN=AD=3，再求出BC长，可判定△ABE≌△DCE得到AE=DE，再证明四边形GHEF是平行四边形，然后证明GH=GF可得四边形GHEF是菱形；②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得∠AED=90°．

解答：（1）证明：∵G、F、H分别是AD、DE、AE的中点，
∴GF=

1

2

AE，HE=

1

2

AE，HG=

1

2

ED，EF=

1

2

DE，
∴GF=HE，HG=EF，
在△GHF和△EFH中，

GF=HE GH=EF HF=FH

∴△GHF≌△EFH（SSS）；

（2）解：①当BE=2.5时，四边形GHEF是菱形；
过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，
∴∠AMN=∠DNB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN=3，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=2，
∴BM=1，
同理CN=1，
∴BC=5，
∵EB=2.5，
∴EC=2.5，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠B=∠C EB=EC

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∵G、F、H分别是AD、DE、AE的中点，
∴GH∥DE，GH=

1

2

DE，FG∥AE，FG=

1

2

AE，
∴四边形GHEF是平行四边形，
∵AE=ED，
∴GH=GF，
∴四边形GHEF是菱形；

②∠AED的度数为90°时，四边形GHFD为矩形，
∵四边形GHEF是平行四边形，
∠AED=90°，
∴四边形GHFD为矩形．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及菱形和矩形的判定，关键是作出辅助线，构造矩形．