Question

如图1，把一个边长为2

2

的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线C₁交x轴于点M、N（M在N的左边）．
（1）求抛物线C₁的解析式及点M、N的坐标；
（2）如图2，另一个边长为2

2

的正方形A′B′C′D′的中心G在点M上，B′、D′在x轴的负半轴上（D′在B′的左边），点A′在第三象限，当点G沿着抛物线C₁从点M移到点N，正方形A′B′C′D′随之移动，移动中B′D′始终与x轴平行．
①直接写出点C′、D′移动路线形成的抛物线C_（C’）、C_（D’）的函数关系式；
②如图3，当正方形A′B′C′D′移动到与正方形ABCD至少有一边在同一直线上时，求对应的点G的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，由勾股定理可求OC，BD的长，从而得到C点、B点、D点坐标，再设抛物线C₁的解析式为y=ax²+c，将C点、B点坐标代入即可求得抛物线C₁的解析式；令y=0，解方程即可得到点M、N的坐标；
（2）①根据抛物线平移的规律即可得到点C′、D′移动路线形成的抛物线C_（C’）、C_（D’）的函数关系式；
②设G点坐标为（x，-

1

2

x²+4），则B′点坐标为（x+2，-

1

2

x²+4），根据B′点的横、纵坐标互为相反数可得关于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）BD=OC=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
∴C（0，4），B（2，2），D（-2，2），
设抛物线C₁的解析式为y=ax²+c，则

c=4 4a+c=2

，
解得

a=- 1 2 c=4

故抛物线C₁的解析式y=-

1

2

x²+4，
当y=0时，-

1

2

x²+4=0，
解得x₁=-2

2

，x₂=2

2

．
则M（-2

2

，0），N（2

2

，0）；

（2）①点C′移动路线形成的抛物线y_c′=-

1

2

x²+6；
点D′移动路线形成的抛物线y_D′=-

1

2

（x-2）²+4．

②设G点坐标为（x，-

1

2

x²+4），则B′点坐标为（x+2，-

1

2

x²+4），
则x+2+（-

1

2

x²+4）=0，
解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

（不合题意舍去），
-

1

2

x²+4=-

1

2

×（1-

13

）²+4=-3+

13

，
故对应的点G的坐标为（1-

13

，-3+

13

）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：正方形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，坐标轴上点的坐标特征，抛物线平移的规律，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．