Question

如图，在平面直角坐标系中直线y=x+1与坐标轴交于AB两点，AB=AC，D、E分别为AC、BC的中点，作∠CDM=45°，AM⊥CM，
（1）求DM的长；
（2）连结OM，求证：四边形OMCE为菱形．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）令x=0，则y=1；令y=0，则x=-1，故可得出AB两点的坐标，再根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC，D为AC的中点得出AD长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）连接EM，先根据相似三角形的判定定理得出△ABC∽△CDM，故可得出∠DCM=∠BCA，再由△BOC是直角三角形，点E是斜边BC的中点，得出OE=EC，OE∥CM，
∴△BOC是直角三角形，点E是斜边BC的中点，故可得出∠OEM=∠CME，由OEC是等腰三角形可知故可得出四边形OMCE是平行四边形，再根据OE=CE即可得出结论．

解答：（1）解：∵令x=0，则y=1；令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，1），
∴0B=0A=1
∴AB=

OA2+OB2

=

12+12

=

2

，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AD=CD=

1

2

AC=

2

2

，
又∵AM⊥CM，
∴DM=

1

2

AC=

2

2

；

???（2）证明：连接EM，
∵∠BAC=∠CDM=45°且AB：DC=AC：DM=2：1，
∴△ABC∽△CDM，
∴∠DCM=∠BCA
∵△BOC是直角三角形，点E是斜边BC的中点，
∴OE=EC，
∴∠EOC=∠BCA=∠DCM
∴OE∥CM，
∴∠OEM=∠CME
又∵△OEC是等腰三角形
∴∠OEM=∠CEM=∠CME
∴EC=CM=OE
∴四边形OMCE是平行四边形，
又∵OE=CE
∴四边形OMCE是菱形．

点评：本题考查的是一次函数综合题，熟知一次函数图象上点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、菱形的判定定理等知识是解答此题的关键．