Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点A同时出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设点Q运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，以P，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形？
（2）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

分析 （1）分点P未到达点C时和点P在BC延长线上两种情况，用t表示出QD、CP，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可；
（2）①PD=PQ时，过P作PE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质用t表示出QE，然后表示出AE，再根据AE=AP列出方程求解；
②DQ=PQ，过Q作QF⊥BC于F，用t表示出FP，在Rt△QPF中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答 解：（1）①如图1，P未到达C点时，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴16-t=21-2t，
解得t=5；
②点P在BC延长线上时，
∵四边形CPDQ是平行四边形，
∴16-t=2t-21，
解得t=$\frac{37}{3}$，
综上所述，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是5或$\frac{37}{3}$；

（2）①如图2，若PD=PQ，过P作PE⊥AD于E，
则QD=16-t，QE=$\frac{1}{2}$QD=$\frac{1}{2}$（16-t），
AE=AQ+QE=t+$\frac{1}{2}$（16-t）=$\frac{1}{2}$（16+t），
∵AE=BP，
∴$\frac{1}{2}$（16+t）=2t，
解得t=$\frac{16}{3}$；
②如图3，若DQ=PQ，过Q作QF⊥BC于F，
则QF=8，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即8²+t²=（16-t）²，
解得t=6．

点评 本题考查了梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合题，但难度不大，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．