Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点F在BA的延长线上，以AF为边作正方形ADEF，连接EB，点M为EB的中点，连接DM并延长交AB于N，连接CM．
（1）若BN=2，AC=3

2

，求BE的长；
（2）求证：CM=

1

2

DN．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）由M为EB的中点，得到EM=BM，根据ED与AB平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到三角形DEM与三角形MNB全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=BN，再由正方形ADEF，得到EF=AF=BN=2，根据三角形ABC为等腰直角三角形，由AC求出AB的长，再由FA+AB求出FB的长，在直角三角形BEF中，利用勾股定理即可求出BE的长；
（2）连接CD，CN，根据NB=AD，BC=AC，且夹角都为45°，利用SAS得到三角形ACD与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=CN，对应角相等得到∠ACD=∠BCN，利用等式的性质得到∠DCN为直角，即三角形DCN为等腰直角三角形，根据M为DN的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．

解答：（1）解：∵M为EB的中点，
∴EM=BM，
∵四边形ADEF为正方形，
∴ED∥BN，AD=AF=EF=ED，
∴∠DEM=∠NBM，∠EDM=∠BNM，
在△DEM和△NBM中，

∠DEM=∠NBM ∠EDM=∠BNM EM=BM

，
∴△DEM≌△NBM（AAS），
∴DM=NM，ED=BN=2，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=3

2

，
∴AB=

2

AC=6，
在Rt△EFB中，EF=2，FB=FA+AB=2+6=8，
根据勾股定理得：BE=

EF2+FB2

=2

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；
（2）证明：连接CD，CN，
∵△ABC为等腰直角三角形，且∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠NBC=45°，
在△ADC和△BNC中，

AC=BC ∠DAC=∠NBC AD=BN

，
∴△ADC≌△BNC（SAS），
∴∠ACD=∠BCN，
∵∠ACN+∠BCN=90°，
∴∠ACN+∠ACD=90°，即∠DCN=90°，
∵M为DN的中点，即CM为斜边DN上的中线，
∴CM=

1

2

DN．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．