Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）k为何值，方程的两根之积等于6．
（3）若△ABC的两边AB，AC的长度是该方程的两个根，第三边BC=5，问：k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=1，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到k²+3k+2=6，然后解关于k的一元二次方程；
（3）由于方程总有两个不相等的实数根，根据等腰三角形的性质得AB=BC=5时，把x=5代入x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0得25-5（2k+3）+k²+3k+2=0，解得k₁=3，k₂=4，然后根据根与系数的关系得到当k=3时，△ABC的周长=5+2k+3=14；当k=4时，△ABC的周长=5+2k+3=16．

解答：（1）证明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得k²+3k+2=6，解得k₁=1，k₂=-4；
（3）解：由于AB≠AC，则AB=BC=5时，把x=5代入x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0得25-5（2k+3）+k²+3k+2=0，解得k₁=3，k₂=4，
当k=3时，△ABC的周长=5+2k+3=5+6+3=14；当k=4时，△ABC的周长=5+2k+3=5+8+3=16．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系和等腰三角形的性质．