Question

3．已知⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：
若点P'在射线CP上，满足CP'•CP=r²，则称点P'是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点P'的示意图．
（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为6，⊙O与x轴的正半轴交于点A．
①如图2，∠AOB=135°，OB=18，若点A'，B'分别是点A，B关于⊙O的反演点，则点A'的坐标是（6，0），点B'的坐标是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
②如图3，点P关于⊙O的反演点为点P'，点P'在正比例函数y=$\sqrt{3}$x位于第一象限内的图象上，△P'OA的面积为6$\sqrt{3}$，求点P的坐标；
（2）点P是二次函数y=x²-2x-3（-1≤x≤4）的图象上的动点，以O为圆心，$\frac{1}{2}$OP为半径作圆，若点P关于⊙O
的反演点P'的坐标是（m，n），请直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据反演点的定义求出OB′的长即可解决问题．
②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，求出OF、PF即可解决问题．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，求出OF、PF即可解决问题．
（2）①当点P是抛物线顶点（1，-4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．求出点P′的纵坐标即可．②当P点坐标为（4，5）时，求出反演点P'的纵坐标，即可解决问题．

解答 解：（1）如图2中，

∵OA•OA′=6²，
∴OA′=6，
∴A′（6，0），
∵OB•OB′=6²，
∴OB′=2，
∵∠AOB=135°，易知B′（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案为A'（6，0），B′（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

②解法一：
过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，

∵S_△OAP′=$\frac{1}{2}$•OA•P′E=6$\sqrt{3}$，
∴P′E=2$\sqrt{3}$，
∵点P'在正比例函数y=$\sqrt{3}$x位于第一象限内的图象上，
∴y_P′=2$\sqrt{3}$，
∴x_P'=2．
∴OP'=4，∠P'OE=60°．
∵点P关于⊙O的反演点是P'点，
∴OP'•OP=6²．
∴OP=9．
过点P作PF⊥x轴于点F．
∴OF=$\frac{9}{2}$，PF=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴点P的坐标为P（$\frac{9}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）．

解法二：
过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，

∵点P'在正比例函数y=$\sqrt{3}x$位于第一象限内的图象上，
∴设点P的坐标为（t，$\sqrt{3}$t），其中t＞0．
∴tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}t}{t}$=$\sqrt{3}$，
∴∠POA=60°，
在Rt△OHA中，AH=OA•sin∠AOH=3$\sqrt{3}$，
∵S_△OAP′=$\frac{1}{2}$•OP′•PAH=6$\sqrt{3}$，
∴OP'=4．
∵点P关于⊙O的反演点是P'点，
∴OP'•OP=6²．
∴OP=9．
过点P作PF⊥x轴于点F．
在Rt△OFP中，t²+（$\sqrt{3}$t）²=9²，
解得t=$\frac{9}{2}$或-$\frac{9}{2}$（舍去），
∴点P的坐标为P（$\frac{9}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）．

（2）如图5中，

①当点P是抛物线顶点（1，-4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．
∵OP=$\sqrt{17}$，r=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴OP′=$\frac{{r}^{2}}{OP}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∵PE∥P′F，
∴$\frac{OP′}{OP}$=$\frac{P′F}{PE}$=$\frac{1}{4}$，
∴P′F=1，
∴n=-1，
②当P点坐标为（4，5）时，同法可得反演点P'的纵坐标n=$\frac{5}{4}$，
综上所述，-1≤n≤$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、圆、勾股定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考创新题目．