Question

8．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（-1，-2）]是一个“和谐点对”．
（1）写出反比例函数y=$\frac{1}{x}$图象上的一个“和谐点对”；
（2）已知二次函数y=x²+mx+n，
①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；
②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；
（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．

解答 解：
（1）∵y=$\frac{1}{x}$，
∴可取[P（1，1），Q（-1，-1）]；
（2）①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，
∴B点坐标为（-2，-4），
将A和B两点坐标代入y=x²+mx+n，可得$\left\{{\begin{array}{l}{4+2m+n=4}\\{4-2m+n=-4}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-4}\end{array}}\right.$；
②（ⅰ） M点在x轴上方时，
若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，
∵A（2，4）且A和B为和谐点对，
∴原点O在AB线段上且O为AB中点，
∴AB=2OA，
∵A（2，4），
∴OA=$2\sqrt{5}$，
∴AB=$4\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，
∵O为AB中点
∴MO=OA=$2\sqrt{5}$，
若∠AMB 为锐角，则$b＞2\sqrt{5}$；
（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得，$b＜-2\sqrt{5}$，
综上所述，b的取值范围为$b＞2\sqrt{5}$或$b＜-2\sqrt{5}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及中心对称、待定系数法、直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中所给的和谐点对的实质是关于原点对称的两个点是解题的关键，在（2）①中利用和谐点对的定义求得点B的坐标是解题的关键，在（2）②中求得使∠AMB为直角时点M的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．