Question

9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中：
①PB平分∠APC；
②当弦PB最长时，△APC是等腰三角形；
③若△APC是直角三角形时，则PA⊥AC；
④当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形．其中正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①由等边三角形的性质和圆周角定理得出①正确；
②根据直径是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP，则△APC是等腰三角形，得出②正确；
③分三种情况：当∠APC=90°时，AC是直径，不成立；当∠PAC=90°时，得出PA⊥AC；当∠ACP=90°时，得出PC⊥AC；因此③错误；
④当∠ACP=30°时，点P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置．如果点P在P₁的位置，易求∠BCP₁=90°，△BP₁C是直角三角形；如果点P在P₂的位置，易求∠CBP₂=90°，△BP₂C是直角三角形；得出④正确．

解答 解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠APB=∠BPC，
∴PB平分∠APC，
∴①正确；
②、当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
∴②正确；
③分三种情况：
当∠APC=90°时，AC是直径，不成立；
当∠PAC=90°时，PC是直径，PA⊥AC；
当∠ACP=90°时，AP是直径，PC⊥AC；
综上所述：若△APC是直角三角形时，则PA⊥AC或PC⊥AC，
∴③不正确；
④、当∠ACP=30°时，点P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置，如图2所示：
如果点P在P₁的位置时：
∵∠BCP₁=∠BCA+∠ACP₁=60°+30°=90°，
∴△BP₁C是直角三角形；
如果点P在P₂的位置时：
∵∠ACP₂=30°，
∴∠ABP₂=∠ACP₂=30°，
∴∠CBP₂=∠ABC+∠ABP₂=60°+30°=90°，
∴△BP₂C是直角三角形，
∴④正确；
故选：D．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，难度适中，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．