Question

18．如图，AB是⊙O的直径，D是圆周上半部分不与A，B重合的动点，连接BD，AD．
（1）延长BD交⊙O在A点的切线于C，若AO=$\sqrt{3}$CD，求∠ACB的大小；
（2）填空：①若AB=2，当AD=$\sqrt{2}$时△ABD的面积最大；②当∠BAD=60°时BD=$\sqrt{3}$AD．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可得AD⊥BC，由切线的性质定理可得AC⊥AB，所以可设CD=1，AD=x，根据射影定理可得出关系式：AD²=CD•BD，进而可求出∠ACB的大小；
（2）①AB为定值，所以△ABD的面积最大时，则AB边上的高线最大，即DO⊥AB，由此即可求出AD的长；②因为△ADB是直角三角形，BD=$\sqrt{3}$AD，所以可求出∠BAD大小．

解答 解：
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
设CD=1，AD=x，
∵AO=$\sqrt{3}$CD
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，
根据射影定理可得出关系式：AD²=CD•BD，
所以x²=$\sqrt{12{-x}^{2}}$，即x⁴=12-x²
得x=$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=60°．
（2）①∵AB为定值，所以△ABD的面积最大时，则AB边上的高线最大，即DO⊥AB，
∴AO=BO，∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AD=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$；
②∵∠ADB=90°，BD=$\sqrt{3}$AD
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}=\sqrt{3}$，
∴∠BAD=60°，
故答案为：60．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理的运用、射影定理的运用、等腰直角三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数值，题目的综合性较强，熟记和圆有关的性质是解题的关键．