如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.BC=12cm.AD=8cm．点P从点B出发.在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动.与此同时.垂直于AD的直线m从底边BC出发.以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移.分别交AB.AC.AD于E.F.H.当点P到达点C时.点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒．(1)连接DE.DF.当t为何值时.四边形AEDF为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=12cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）连接DE、DF，当t为何值时，四边形AEDF为菱形？
（2）连接PE、PF，在整个运动过程中，△PEF的面积是否存在最大值？若存在，试求当△PEF的面积最大时，线段BP的长．
（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，此时，DH=$\frac{1}{2}$AD=4cm，再根据直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，即可求得t=$\frac{4}{2}$=2（s）；
（2）先根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，进而得出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，据此求得EF=12-3t，再根据S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（12-3t）•2t=-3t²+12t=-3（t-2）²+12（0＜t≤4），求得当t=2秒时，S_△PEF存在最大值，最大值为12cm²，最后计算线段BP的长；
（3）若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，根据△FCG∽△ACD，得到$\frac{CG}{CD}$=$\frac{FG}{AD}$，进而得到CG=$\frac{3}{2}$t，PG=12-3t-$\frac{3}{2}$t，最后在Rt△PFG中，根据勾股定理列出方程（12-3t-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²=（12-3t）²，即可求得t的值．

解答解：（1）如图1，若四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，
此时，DH=$\frac{1}{2}$AD=4cm，
又∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，
∴t=$\frac{4}{2}$=2（s），
此时，EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
即四边形AEDF为菱形，
故当t=2s时，四边形AEDF为菱形；

（2）如图2，∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，AD=8cm，
∴DH=2t，AH=8-2t，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，即$\frac{EF}{12}$=$\frac{8-2t}{8}$．
解得EF=12-3t，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（12-3t）•2t=-3t²+12t=-3（t-2）²+12（0＜t≤4），
∴当t=2秒时，S_△PEF存在最大值，最大值为12cm²，
此时BP=3t=6cm；

（3）存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上．
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12cm，AD=8cm，
∴AB=AC=10cm，
若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，
由（2）可得，EF=12-3t=PF，
如图3，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，
∴△FCG∽△ACD，
∴$\frac{CG}{CD}$=$\frac{FG}{AD}$，即$\frac{CG}{6}$=$\frac{2t}{8}$，
∴CG=$\frac{3}{2}$t，
又∵BP=3t，BC=12cm，
∴PG=12-3t-$\frac{3}{2}$t，
∴Rt△PFG中，（12-3t-$\frac{3}{2}$t）²+（2t）²=（12-3t）²，
解得t₁=$\frac{144}{61}$或t₂=0（舍去），
∴当t=$\frac{144}{61}$时，点F在线段EP的中垂线上．