Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，CD=2，tanB=$\frac{3}{4}$．
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）由中点定义求BC=4，根据tanB=$\frac{3}{4}$得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=$\sqrt{13}$；
（2）作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．

解答 解：（1）∵D是BC的中点，CD=2，
∴BD=DC=2，BC=4，
在Rt△ACB中，由 tanB=$\frac{AC}{CB}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{4}=\frac{3}{4}$，
∴AC=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）过点D作DE⊥AB于E，
∴∠C=∠DEB=90°，
又∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{DB}{AB}$，
∴$\frac{DE}{3}=\frac{2}{5}$，
∴$DE=\frac{6}{5}$，
∴sin∠BAD=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\frac{6}{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{65}$．

点评 本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．