Question

．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：

小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA²+PC²=PB²．

小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．

这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：

（1）如图2，点P在∠ABC的内部，

①PA=4，PC=，PB=　　　　　　．

②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．

（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．

Answer 1

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）根据结论代入即可填写；

（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之间的数量关系；

（3）当点P在CB的延长线上时，得出PA²+PB²=PC²．

【解答】解：（1）①PB==．

故答案为：；

②PA²+PC²=PB²，

证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：

∴∠1=∠2，

∵AB=CB，

在△ABP与△CBP′中，

，

∴△ABP≌△CBP′，

∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，

在四边形ABCP中，

∵∠ABC=60°，∠APC=30°，

∴∠A+∠BCP=270°，

∴∠BCP′+∠BCP=270°，

∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°，

∵△PBP′是等边三角形，

∴PP′=PB，

在Rt△PCP′中，P'C²+PC²=P'P²，

∴PA²+PC²=PB²；

（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：

如图2，当点P在CB的延长线上时，

结论为PA²+PB²=PC²．

【点评】本题考查了几何变换问题，本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质．