Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点D是AC的中点，cos∠CBD=，则sin∠ABD=　　　　　　．

Answer 1

　　．

 

【考点】解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

【专题】计算题．

【分析】过点D作DH⊥AB，如图所示．设BD=4x，可根据三角函数和勾股定理求出BC、CD（AD）、AC、AB的值（用x表示），要求sin∠ABD，只需求出DH的值（用x表示），只需证明△AHD∽△ACB，并利用相似三角形的性质就可解决问题．

【解答】解：过点D作DH⊥AB，如图所示．

在Rt△BCD中，

cos∠CBD==．

设BD=4x，则BC=x，

∴CD==x．

∵点D是AC的中点，

∴AD=CD=x，

∴AC=2x，AB==x．

∵∠A=∠A，∠DHA=∠C=90°，

∴△AHD∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴DH=．

在Rt△BHD中，

sin∠ABD==．

故答案为．

【点评】本题主要考查了三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，题目中若涉及到三角函数，通常需放到直角三角形中考虑．