题目内容
13．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据抛物线y=ax2+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可．
（2）首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（-1，n），根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点D、点M的坐标各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根据勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．
（3）根据题意，分三种情况：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（-6，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8．
（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，
，
设G点的坐标为（-1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}{+8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$BD=2\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，
32+（4-n）2=20，
解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G点的坐标为（-1，4+$\sqrt{11}$）或（-1，4-$\sqrt{11}$）．
（3）抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+c}{2}=\frac{-1+2}{2}}\\{\frac{8+0}{2}=\frac{d+4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{d=4}\end{array}\right.$
∴点F的坐标是（-1，4），点E的坐标是（1，0）．
②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+（-1）}{2}=\frac{c+2}{2}}\\{\frac{8+d}{2}=\frac{0+4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{d=-4}\end{array}\right.$
∴点F的坐标是（-1，-4），点E的坐标是（-3，0）．
③当CE∥DF时，如图④，
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（-1，d），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+2}{2}=\frac{c+（-1）}{2}}\\{\frac{8+4}{2}=\frac{d+0}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{d=12}\end{array}\right.$
∴点F的坐标是（-1，12），点E的坐标是（3，0）．
综上，可得
抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
点F的坐标是（-1，4）、（-1，-4）或（-1，12）．
点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，以及待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
如图，直线l1∥l2∥l3，直角三角形的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，且∠ABC=90°．若∠1=65°，则∠2=25°．
中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？
已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．求证：EF平分∠BED．
如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．| A． | 不变 | B． | 扩大为原来的5倍 | ||
| C． | 扩大为原来的10倍 | D． | 缩小为原来的$\frac{1}{10}$ |