Question

5．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法可得出k和a；
（2）设点P的坐标为（t，2t），则可得点Q的坐标，从而求出PQ，再根据二次函数的最值问题得出最大长度．

解答 解：（1）由题意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，抛物线的解析式为y=x²-2x，直线的解析式为y=2x．

（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t²-2t），
则PQ=2t-（t²-2t）=4t-t²=-（t-2）²+4，
所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式、直线的解析式，以及二次函数的最值．在求有关最值问题时要注意二次函数的顶点．