题目内容
已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6-OQ）2+32，求出OQ=
，DQ=
，得出Q的坐标是（0，
），求出直线BD的解析式，即可得出答案；
（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．
（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6-OQ）2+32，求出OQ=
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（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：（1）证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中
∴△BCQ≌△ODQ；
，
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，
则OQ2=（6-OQ）2+32，
解得：OQ=
，DQ=
，
即Q的坐标是（0，
），
∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，
∴B的坐标是（-3，6），
设直线BD的解析式是y=kx+
，
把B的坐标代入得：k=-
，
即直线BD的解析式是y=-
x+
，
把y=0代入得：-
x+
=0，
解得：x=5，
即P的坐标是（5，0）；
（3）解：
过D作DM⊥OP于M，如图1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
即得：OM=
，DM=
，
OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如图2，当0≤x≤
时，
∵DM=
，OM=
，OG=x，CG∥DM，
∴△ONG∽△ODM，
∴
=
，
NG=
x，
∴S=
×OG×GN=
•x•
x，
S=
x2；
②如图3，当
＜x≤3时，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD=
=4，
∵DM=
，OM=
，
∴PM=5-
=
，
∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴
=
，
∴NG=
（5-x），
∴S=S△ADP-S△PGN=
×3×4-
•（5-x）•
（5-x），
S=-
x2+
x-
，
即S和x的函数关系式是S=
x2（0≤x≤
）和S=-
x2+
x-
（
＜x≤3）．
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中
|
∴△BCQ≌△ODQ；
，
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，
则OQ2=（6-OQ）2+32，
解得：OQ=
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即Q的坐标是（0，
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∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，
∴B的坐标是（-3，6），
设直线BD的解析式是y=kx+
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把B的坐标代入得：k=-
| 3 |
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即直线BD的解析式是y=-
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| 4 |
把y=0代入得：-
| 3 |
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解得：x=5，
即P的坐标是（5，0）；
（3）解：
过D作DM⊥OP于M，如图1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴
| OQ |
| OD |
| QD |
| OM |
| OD |
| DM |
∴
| ||
| 3 |
| ||
| OM |
| 3 |
| DM |
即得：OM=
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OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如图2，当0≤x≤
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∵DM=
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∴△ONG∽△ODM，
∴
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| NG |
| x |
NG=
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∴S=
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| 2 |
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S=
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②如图3，当
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在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD=
| 52-32 |
∵DM=
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∴PM=5-
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∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴
| ||
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| NG |
| 5-x |
∴NG=
| 3 |
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∴S=S△ADP-S△PGN=
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S=-
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即S和x的函数关系式是S=
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点评：本题考查了三角形的面积，矩形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要要进行分类讨论，题目是一道比较典型的题目，有一定的难度．
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