Question

8．如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=54°．

Answer 1

分析 DE与B′C′相交于O点，如图，利用正五边形的性质计算出∠B=∠BAE=∠E=108°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，接着根据四边形内角和计算出∠B′AE的度数，然后计算∠BAE-∠B′AE即可．

解答 解：DE与B′C′相交于O点，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠B=∠BAE=∠E=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），
∴∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，
∵DE⊥B′C′，
∴∠B′OE=90°，
∴∠B′AE=360°-∠B′-∠E-∠B′OE=360°-108°-108°-90°=54°，
∴∠BAB′=∠BAE-∠B′AE=108°-54°=54°，
即∠α=54°．
故答案为54．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是计算正五边形的内角．