如图.Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=6.BC=8.D是AB的中点.⊙O过C.D两点且分别交边AC.BC于点E.F.连接CO.EF．下列结论:①AE2+BF2=EF2,②设⊙O的面积为S.则$\frac{25}{4}$π≤S≤$\frac{625}{36}$π,③当⊙O从过点A变化到过点B时.点O移动的路径长为5,④当CO⊥AB时.△CEF面积的最大．其中正确的结论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，⊙O过C、D两点且分别交边AC、BC于点E、F，连接CO、EF．下列结论：
①AE²+BF²=EF²；②设⊙O的面积为S，则$\frac{25}{4}$π≤S≤$\frac{625}{36}$π；③当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长为5；④当CO⊥AB时，△CEF面积的最大．
其中正确的结论的序号是①④（把所有正确结论的序号都填上）．

分析（1）由中线倍长将三条线段转移到一个三角形当中，然后判定这个三角形为直角三角形即可．
（2）要求圆的面积的取值范围，就是求半径的取值范围，而EF是直径，从而将问题转化为求EF长度的取值范围．注意到CD长度是不变的，且是圆的一条弦，连接OD由三角形三边关系可知CD就是直径的最小值，由于E点只能在AC上运动，所以当E点取极端位置（与A点或C点重合）时，EF取最大值，由此确定圆面积的取值范围．
（3）当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长不为5，此论断描述有误．
（4）设CE=b，CF=a，由勾股定理得出4a+3b=25，和为定值，由此考虑利用均值不等式判断出△CEF面积最大时的条件为 4a=3b，再看这一条件能否等价推出CO垂直AB，从而作出判断．

解答解：（1）如图1，连接DF、DE，延长FD至G，使DG=DF，连接EG、AG．

∵AD=BD，∠ADG=∠BDF，
从而△AGD与△BFD全等，
∴AG=BF，∠FBD=∠GAD，
∴AG∥BF，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAG=90°，
∴AE²+AG²=EG²，
又∵EF是直径，
∴∠EDF=90°，
∴EF=EG，
∴AE²+BF²=EF²，故①正确．
（2）设圆的半径为R，连接CO、OD，如图1，
则CO+OD≥CD，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=10，
∴CD=5，
∵CO=OD=R，
∴2R≥5，
∴R≥$\frac{5}{2}$，
∴S≥$\frac{25}{4}$π，
当E点与A点重合时（与C点重合也一样），如图2所示，

此时FD重直平分AB，
∴EF=BF，
设EF=BF=x，则CF=8-x
在直角三角形ACF中，AC²+CF²=EF²，
即36+（8-x）²=x²，解得x=$\frac{25}{4}$，
∴S≤$\frac{625}{64}$π，故②错误；
（3）当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长不为5，故此判断描述错误；
（4）如图3，设CF=a，CE=b，

则AE=6-b，BF=AG=8-a，
∵EG=EF，
∴AE²+AG²=CE²+CF²，
即（6-b）²+（8-a）²=a²+b²，
∴4a+3b=25，
∵4a+3b≥2$\sqrt{12ab}$，
∴$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{625}{96}$，当且仅当4a=3b，$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$时，△CEF取最大值，
∵$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，
故△CEF∽△CBA，
∴∠OCF=∠OFC=∠CAB，∠OCE=∠OEC=∠CBA，
∴∠OCF+∠CBA=90°，即CO⊥AB，
由此可知④正确．