Question

3．如图所示，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点M在CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\sqrt{5}-\frac{3}{2}$
• D． 3-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由矩形的性质得出CD=AB=3，AB∥CD，BC=AD=2，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=3，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AB∥CD，BC=AD=2，∠C=90°，
∴∠BAM=∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD=∠AMB，
∴∠BAM=∠AMB，
∴BM=AB=3，
∴CM=$\sqrt{M{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DM=CD-CM=3-$\sqrt{5}$；
故选：D．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB=AB是解决问题的关键．