Question

9．如图，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB逆时针旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论：
①A′O′+O′O=AO+BO．
②A′、O′、O、C在一条直线上．
③A′P′+P′P=PA+PB．
④PA+PB+PC＞AO+BO+CO．
其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由于△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，则△BOO′和△BPP′都是等边三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四个结论都正确．

解答 解：连PP′，如图，

∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，
∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，
∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以①正确；
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，
即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以②正确；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故选：D．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．