Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，AD平分∠CAB交BC于点D，点M，N分别是AC和AD边上的动点，则MN+NC的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 由轴对称的性质可知：PC=PC′，所以QP+PC=QP+PC′，由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值，然后利用锐角三角函数的定义即可其肚饿QC′的长．

解答 解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′M⊥AC于M，交AD于N，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ACD与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′=AC=4，NC=NC′，
∴MN+NC=MN+NC′，
由垂线段最短可知：当C′M⊥AC时，C′M有最小值．
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△AMC′中，sin∠MAC′=$\frac{MC′}{AC′}$，
即$\frac{MC′}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴MC′=$\frac{12}{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，明确当C′M⊥AC时，C′M有最小值是解题的关键．