Question

2．已知如图，点A（-1，0）、C（1，0），以AC为对角线作正方形ABCD．
（1）写出点B，点D的坐标；
（2）用直尺或圆规作出：y轴上分别到点B、点D的距离等于正方形边长的点（简要说明作法并保留作图痕迹）；
（3）已知直线l：y=x+m，点P为直线l上的动点，当直线l上存在唯一一个点P使得∠APC=45°时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的对角线互相垂直平分且相等即可求得；
（2）分别以D和B为圆心，正方形的边长为半径作弧，与y轴的交点就是满足条件的点；
（3）当直线l上存在唯一一个点P使得∠APC=45°时，直线与分别以B和D为圆心，有AB的圆为半径的圆相切，据此即可求解．

解答 解：（1）B的坐标是（0，-1），D的坐标是（0，1）；
（2）分别以D和B为圆心，正方形的边长为半径作弧，与y轴的交点就是满足条件的点．

点E、F、G、H是所求的点；
（3）当直线y=x+m经过第二、一、三象限时，
过D作直线y=x+m的垂线，当直线l上存在唯一一个点P使得∠APC=45°时，DW=AB=$\sqrt{2}$，
直线y=x+m与y轴的交点是N，则△DWN是等腰直角三角形，则DN=$\sqrt{2}$DW=2，
则ON=OD+DN=1+2=3，即N的坐标是（0，3）．
把（0，3）代入y=x+m得m=3，
则函数解析式是y=x+3；
同理，当直线y=x+m经过第一、四、三象限时，函数解析式是y=x-3．

点评 本题考查了正方形的性质，以及待定系数法求解析式，理解：当直线l上存在唯一一个点P使得∠APC=45°时，直线与分别以B和D为圆心，有AB的圆为半径的圆相切是关键．