Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy内，正方形AOBC顶点C的坐标为（2，2），过点B的直线∥OC，P是直线上一个动点，抛物线y=ax²+bx过O、C、P三点．
（1）填空：直线的函数解析式为y=x-2；a，b的关系式是2a+b=1．
（2）当△PBC是等腰Rt△时，求抛物线的解析式；
（3）当抛物线的对称轴与正方形有交点时，直接写出点P横坐标x的取值范围$1-\sqrt{5}$≤x≤$1+\sqrt{5}$，且x≠0和2．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得B（2，0）和直线OC的解析式为y=x，设直线l的解析式为y=x+b，根据待定系数法即可求得直线的函数解析式，把C的坐标代入y=ax²+bx即可求得a，b的关系式；
（2）分两种情况求得P的坐标，利用待定系数法即可求得；
（3）求得抛物线是顶点为C时的抛物线的解析式求得与直线l的交点坐标即可求得符合题意的点P横坐标x的取值范围．

解答 解：（1）∵正方形AOBC顶点C的坐标为（2，2），
∴B（2，0），
∵直线OC的解析式y=x，
∴设直线l的解析式为y=x+b，
∴0=2+b，
∴b=-2，
∴直线l的函数解析式为y=x-2，
把（2，2）代入y=ax²+bx得，2=4a+2b
∴2a+b=1；
（2）当∠BCP=90°时，则P的坐标为（4，2），如图2，

把C（2，2），P（4，2）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2}\\{16a+4b=2}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x；
当∠BPC=90°时，则P的坐标为（3，1），如图3，

把C（2，2），P（3，1）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2}\\{9a+3b=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{7}{3}x$；
（3）当抛物线的顶点为C时，如图4，
∴-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a，
∵2a+b=1，
∴a=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得x=1±$\sqrt{5}$，
∴点P横坐标x的取值范围$1-\sqrt{5}$≤x≤$1+\sqrt{5}$，且x≠0和2．
故答案为：y=x-2，2a+b=1，$1-\sqrt{5}$≤x≤$1+\sqrt{5}$，且x≠0和2．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、抛物线和直线的交点以及分类讨论思想的运用等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．