Question

5．在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E，F，G，H分别在已知矩形的四条边上，且四边形EFGH也是矩形，GF=2EF，若设AE=a，AF=b，则a与b满足的关系为a+b=3．

Answer 1

分析 由题意得出：△BGF∽△AFE，△AEF≌△CGH，再由GF=2EF，得出BG=2b，BF=2a，CG=a，由此根据AB=4，BC=5，列出方程组即可．

解答 解：如图所示；
∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，∠EFG=∠FGH=90°，EF=GH，
∴∠1+2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
同理∠3=∠5，∴∠2=∠5，
∴△BGF∽△AFE，
∴$\frac{BG}{AF}=\frac{FG}{EF}$=$\frac{BF}{AE}$，
∵GF=2EF，
∴$\frac{BG}{AF}$=$\frac{BF}{AE}$=2，
∴BG=2b，BF=2a，
在△AEF和△CGH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{∠2=∠5}&{\;}\\{EF=GH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CGH（AAS），
∴CG=AE=a，
∵AB=4，BC=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=4}\\{a+2b=5}\end{array}\right.$，
得：a+b=3；
故答案为：a+b=3．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；正确利用矩形的性质，三角形相似、全等的判定与性质从问题中抽象出二元一次方程组是解决问题的关键．