Question

20．已知：a为常数，f（x）=a-x+|x-a|，且f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=30，求a的值．

Answer 1

分析 分x＜a时或x＞a时进行讨论，先计算f（x）的值，再代入f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=30中进行计算即可．

解答 解：分两种情况：
①当x＜a时，f（x）=a-x+|x-a|=a-x+a-x=2a-2x，
∴f（0）=2a，
f（1）=2a-2×1，
f（2）=2a-2×2，
…
f（2016）=2a-2×2016，
∴2a+2a-2×1+2a-2×2+…+2a-2×2016=30，
2017×2a-2×$\frac{2016（1+2016）}{2}$=30，
2017a-1008×2017=15，
a=1008$\frac{15}{2017}$，
②x≥a时，f（x）=a-x+|x-a|=a-x+x-a=0，
f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=0，不符合题意，此种情况不成立；
∴a的值为1008$\frac{15}{2017}$．

点评 本题考查了绝对值的意义，明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零．