Question

9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
解方程（$\frac{x}{x-1}$）²-6（$\frac{x}{x-1}$）+5=0
解：令$\frac{x}{x-1}$=y，代入原方程后，得：
y²-6y+5=0
（y-5）（y-1）=0
解得：y₁=5  y₂=1
∵$\frac{x}{x-1}$=y
∴$\frac{x}{x-1}$=5或$\frac{x}{x-1}$=1
①当$\frac{x}{x-1}$=1时，方程可变为：
x=5（x-1）
解得x=$\frac{5}{4}$
②当$\frac{x}{x-1}$=1时，方程可变为：
x=x-1
此时，方程无解
检验：将x=$\frac{5}{4}$代入原方程，
最简公分母不为0，且方程左边=右面
∴x=$\frac{5}{4}$是原方程的根
综上所述：原方程的根为：x=$\frac{5}{4}$
根据以上材料，解关于x的方程x²+$\frac{1}{x^2}$+x+$\frac{1}{x}$=0．

Answer 1

分析 先变形，设x+$\frac{1}{x}$=a，则原方程化为a²+a-2=0，求出a的值，再代入求出x的值，最后进行检验即可．

解答 解：x²+$\frac{1}{x^2}$+x+$\frac{1}{x}$=0，
（x+$\frac{1}{x}$）²+x+$\frac{1}{x}$-2=0，
设x+$\frac{1}{x}$=a，则原方程化为：a²+a-2=0，
解得：a=-2或1，
当a=-2时，x+$\frac{1}{x}$=-2，
x²+2x+1=0，
解得：x=-1，
当a=1时，x+$\frac{1}{x}$=1，
x²-x+1=0，
此方程无解；
经检验x=-1是原方程的解，
所以原方程的解为x=-1．

点评 本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键．