Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=-2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y 正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S_△ABP=S_△AOM，请直接写出点P的坐标．
（3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）通过函数y=-2x+12求出A、B两点坐标，又由点M为线段OB的中点，即可求得点M的坐标，然后由待定系数法求得直线AM的函数解析式；
（2）设出P点坐标，由两点间的距离公式，可求得AP的长，然后由等腰直角三角形的性质，求得B点到AM的距离，然后由S_△ABP=S_△AOM，可得方程

1

2

×

2

|x-6|×3

2

=18，解此方程即可求得答案；
（3）分OA是正方形的一条边和OA是正方形的一条对角线两种情况讨论可得点D的坐标．

解答：解：（1）∵直线AB的函数解析式y=-2x+12，
∴A（6，0），B（0，12）．
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，则

6k+b=0 b=6

，
解得：

k=-1 b=6

，
故直线AM的解析式y=-x+6；

（2）设点P的坐标为：（x，-x+6），
∴AP=

(x-6)2+(-x+6)2

=

2

|x-6|，
过点B作BH⊥AM于点H，
∵OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMH=45°，
∴BH=BM•sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∵S_△ABM=S_△AOM，
S_△AOM=

1

2

OA•OM=

1

2

×6×6=18，
S_△ABP=

1

2

AP•BH=

1

2

×

2

|x-6|×3

2

，
∴

1

2

×

2

|x-6|×3

2

=18，
解得：x=0或12，
故点P的坐标为：（0，6）或（12，-6）．

（3）当OA是正方形的一条边，以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形时，点D的坐标为（6，6）；
当OA是正方形的一条对角线，以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形时，点D的坐标为（3，-3）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的一次解析式、等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．