Question

如图，已知二次函数图象的顶点为（1，-3），并经过点C（2，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）点Q在x轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-3，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；
（3）作AF⊥y轴于F，由勾股定理求出OA的值，如图2，3当AO=OQ时，就可以求出Q的坐标，如图3，当AO=AQ时，作AG⊥OC于G，由等腰三角形的现在就可以求出结论．

解答：解：（1）抛物线的解析式为y=a（x-1）²-3，由题意，得
0=a（2-1）²-3，
解得：a=3，
∴二次函数的解析式为：y=3（x-1）²-3；
（2）由题意，得

y=3(x-1)2-3 y=3x

，
解得：

x1=0 y1=0

或

x2=3 y2=9

．
∵交点不是原点，
∴B（3，9）．
如图2，设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得

-3=k+b 9=3k+b

，
解得：

k=6 b=-9

，
∴y=6x-9．
当y=0时，y=1.5．
∴E（1.5，0），
∴OE=1.5，
∴S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE，
=

1.5×3

2

+

1.5×9

2

，
=9．
答：B（3，9），△AOB的面积为9；
（3）如图3，作AG⊥OC于G，且A（1，-3），
∴AG=3，OG=1．
在Rt△AOG中，由勾股定理，得
AO=

10

．
当OQ=AO时，OQ=

10

，
∴Q（-

10

，0）或（

10

，0）；
当AO=AQ时，作AG⊥OC于G，
∴OQ=2OG=2，
∴Q（2，0）；
当OQ=AQ时，如图4，作QP⊥OA于P，AS⊥y轴于点S，
∴OP=

10

2

，AS=1，OS=3，cos∠OAS=

1

10

，
∴cos∠AOQ=

OP

OQ

=

1

10

，
∴

10 2

OQ

=

1

10

，
∴OQ=5．
∴Q（5，0）．
综上所述，Q的坐标为（5，0），（-

10

，0），（

10

，0）或（2，0）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．