Question

19．如图，记抛物线y=-x²+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P₁，P₂，…，P_n-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…的面积分别为S₁，S₂，…，这样就有S₁=$\frac{{{n^2}-1}}{{2{n^3}}}，{S_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{2{n^3}}}$，…；记W=S₁+S₂+…+S_n-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 令y=-x²+1=0可找出点A的坐标，进而可得出Q_n-1（$\frac{n-1}{n}$，1-$（\frac{n-1}{n}）^{2}$）的坐标，结合三角形的面积即可得出S_n-1=$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{2{n}^{3}}$，将其代入W中即可得出W=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$，随着n的增大，W值越来越接近$\frac{1}{3}$．

解答 解：当y=-x²+1=0时，x=1或x=-1，
∴点A的坐标为（1，0），
∴Q_n-1（$\frac{n-1}{n}$，1-$（\frac{n-1}{n}）^{2}$），
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n}$•[1-$（\frac{n-1}{n}）^{2}$]=$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{2{n}^{3}}$．
W=S₁+S₂+…+S_n-1=$\frac{{n}^{2}-1}{2{n}^{3}}$+$\frac{{n}^{2}-{2}^{2}}{2{n}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{2{n}^{3}}$=$\frac{（n-1）{n}^{2}-[{1}^{2}+{2}^{2}+…+（n-1）^{2}]}{2{n}^{3}}$=$\frac{4{n}^{3}-3{n}^{2}-n}{12{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$，
∵当n越来越大时，-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$越来越接近于0，
∴W最接近的常数是$\frac{1}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及分式的化简，根据三角形的面积找出W=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$是解题的关键．