Question

4．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB上的一动点（不与A，B重合），点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF=90°．
（1）求证：$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
（2）试判断△OGH的形状，并说明理由；
（3）随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，只要证明∠AOE=∠BOF即可．
（2）结论：△OGH是等腰直角三角形．只要证明△AOG≌△BOH，可得OG=OH，即可证明．
∴OG=OH，
（3）结论：四边形OGBH的面积不发生变化．由△AOG≌△BOH，推出四边形OGBH的面积=△AOB的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OB、OA．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$．

（2）解：结论：△OGH是等腰直角三角形．
理由：如图1中，在△AOG和△BOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠BOH}\\{∠OAG=∠OBH=45°}\\{OA=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△BOH；
∴OG=OH，∵∠GOH=90°，
∴△OGH是等腰直角三角形．

（3）解：结论：四边形OGBH的面积不发生变化．
理由：如图1中，∵△AOG≌△BOH，
∴四边形OGBH的面积=△AOB的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，
∴四边形OGBH的面积不发生变化．

点评 此题考查了圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面积的计算，综合性较强，有一定的难度．