Question

8．观察下列式子：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
将以上三个等式两边分别相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
用你发现是规律解答下列问题：
（1）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$（其中n为大于1的自然数）．
（2）探究并计算：
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）①根据发现的规律进行计算即可；
②根据发现的规律进行计算即可；
（2）首先提取$\frac{1}{4}$，再根据发现的规律进行计算即可．

解答 解：（1）根据题意得：①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
故答案为：$\frac{2015}{2016}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
故答案为：$\frac{n}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+$…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{1007×1008}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1007}{1008}$
=$\frac{1007}{4032}$．

点评 本题考查了有理数的混合运算、数字的变化；根据发现的规律进行计算是解决问题的关键．