Question

10．如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆心的坐标和半径的长即可求出A，B两点的坐标，然后将A，B的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．
（2）可先在直角三角形OO₁M中求出∠MO₁O的度数，然后过M作x轴的垂线，设垂足为F，可在直角三角形MO₁F中根据∠MO₁O的度数和MO₁的长求出MF和O₁F的长，即可得出M点的坐标，进而可根据M的坐标求出直线OM的解析式．
（3）由于P在OM上，因此∠POA=∠MOO₁，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当AP∥O₁M时，②当PA⊥OB时．据此可求出P点的坐标．（①可参照求M点坐标时的方法来解，②可直接将A点横坐标代入直线OM的解析式中，即可求出P的坐标）．

解答 解：（1）∵圆心的坐标为O₁（2，0），⊙O₁半径为1，
∴A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A，B，
∴可得方程组 $\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=-x²+4x-3．

（2）过点M作MF⊥X轴，垂足为F．
∵OM是⊙O₁的切线，M为切点，
∴O₁M⊥OM（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在Rt△OO₁M中，sin∠O₁OM=$\frac{{O}_{1}M}{O{O}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∵∠O₁OM为锐角，
∴∠O₁OM=30°，
∴OM=OO₁•cos30°=$\sqrt{3}$，
在Rt△MOF中，OF=OM•cos30°=$\frac{3}{2}$．
MF=OMsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点M坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设切线OM的函数解析式为y=kx（k≠0），由题意可知$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$k，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴切线OM的函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

（3）两个，
①过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁，
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O（两角对应相等两三角形相似），
P₁A=OA•tan∠AOP₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴P₁（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
②过点A作AP₂⊥OM，垂足为，过P₂点作P₂H⊥OA，垂足为H．
可得Rt△OP₂A∽Rt△O₁MO（两角对应相等两三角形相似），
在Rt△OP₂A中，
∵OA=1，
∴OP₂=OA•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂•cos∠AOP₂=$\frac{3}{4}$，
P₂H=OP₂•sin∠AOP₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，P₂（ $\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
∴符合条件的P点坐标有（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（ $\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了切线的性质，一次函数和二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质等知识点．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．