Question

2．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AF垂直过C点的切线，垂足为F，连接AC、BC．
（1）求证：∠FAC=∠BAC；
（2）过F点作FD⊥AC交AB于D，过D点作DE⊥FD交FC延长线于E，求证：CF=CE；
（3）在（2）的条件下，延长FA交⊙O于H，连接OE，若CD=2，AH=3，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图（1），根据切线的性质得OC⊥FC，再证明AF∥OC，根据平行线的性质得∠OCA=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC，于是可得到∠FAC=∠BAC；
（2）如图（2），由于FD⊥AC，∠FAC=∠BAC，根据等腰三角形的性质得AC平分FD，则AC垂直平分DF，所以CF=CD，再证明∠CDE=∠E得到CD=CE，于是得到CF=CE；
（3）连结OC，如图（3），先利用切割线定理求出FA=1，再证明CD⊥AB，接着证明Rt△ADC∽Rt△CDB，于是利用相似比可计算出BD=4，所以OC=$\frac{5}{2}$，然后在Rt△OCE中利用勾股定理计算OE．

解答 （1）证明：连结OC，如图（1），
∵FC为切线，
∴OC⊥FC，
∵CF⊥AF，
∴AF∥OC，
∴∠OCA=∠FAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠BAC；
（2）证明：如图（2），
∵FD⊥AC，∠FAC=∠BAC，
∴AC平分FD，即AC垂直平分DF，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，
∵FD⊥DE，
∴∠EFD+∠E=90°，∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
∴CF=CE；
（3）连结OC，如图（3），
∵CF=CE=CD，
∴CF=CE=2，
∵CF为切线，FH为割线，
∴FC²=FA•FH，即2²=FA（FA+3），解得FA=1或FA=-4（舍去），
∵AC垂直平分DF，
∴AF=AD=1，CF=CD，
∴∠AFD=∠ADF，∠CFD=∠CDF，
∴∠ADF+∠CDF=∠AFD+∠CFD=90°，
∴CD⊥AB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴AD：CD=CD：BD，即1：2=2：BD，解得BD=4，
∴AB=AD+BD=5，
∴OC=$\frac{5}{2}$，
∵OC⊥CE，
∴在Rt△OCE中，OE=$\sqrt{C{E}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切割线定理；灵活运用等腰三角形的判定与性质；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；解决（3）题的关键是构建Rt△OCE和求圆的半径．