Question

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx与x轴正半轴交于点A，顶点为B，当存在以AB为边，以点O为对称中心的矩形时，b的值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质知OB=AB、结合抛物线对称性知△OAB为等边三角形，作BE⊥OA于点E，则BE=$\sqrt{3}$OE，据此可得$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{b}{2}$，解之即可．

解答 解：如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，

则四边形ABCD为平行四边形，
当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形，
由抛物线的对称性知OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
作BE⊥OA于点E，
则BE=$\sqrt{3}$OE，
∵y=-x²+bx=-（x-$\frac{b}{2}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$，
则点B（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{4}$）
∴$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{b}{2}$（b＞0），
解得：b=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握矩形的性质及二次函数的图象和性质是解题的关键．