Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，∠A=47°，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以x厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以y厘米/秒的速度由C点向A点运动．
（1）若x=y=3，经过1秒后，此时△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若x≠y，当x=3，y为何值时，能够使△BPD与△CQP全等？请说明理由．
（3）是否存在点P，使△BPD为等腰三角形？若存在，求此时∠BPD的度数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定,等腰三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
（2）因为x≠y，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4，根据全等得出CQ=BD=5，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（3）有三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠B的度数．需要分类讨论：∠B=∠BPD和∠B=∠BDP两种情况．

解答：解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3厘米
∵AB=10厘米，D为AB中点，
∴BD=5（厘米）
又∵PC=BC-BP=8-3=5（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，

BP=CQ ∠B=∠C BD=PC

，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）∵x≠y，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间t=

BP

3

=

4

3

（秒），
此时y=

CQ

t

=

5

4 3

=

15

4

（厘米/秒）．

（3）存在点P，使△BPD为等腰三角形．理由如下：
∵△ABC中，AB=AC，∠A=47°，
∴∠B=∠C=

180°-47°

2

=66.5°．
①当∠B=∠BPD=66.5°时，△BPD为等腰三角形
②当∠B=∠BDP=66.5°时，△BPD为等腰三角形，此时∠BPD=180°-2×66.5°=47°．
综上所述，∠BPD的度数是66.5°或47°时，△BPD为等腰三角形．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．